等差等比联袂型数列

已知$\{a_n\}$是首项为$a$,公差为2的无限等差数列,$\{b_n\}$是首项为1,公比为2的无限等比数列,记$\lambda_n = \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_n}$,给出下列四个结论：

①当$0 < a < 2$时,有$\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3$;

②存在$a \in \mathbb{R}$,使得$\{\lambda_n\}$的前2025项为单调递增数列;

③对于任意$a > 0$,$\{\lambda_n\}$从第三项起均为单调递减数列;

④当且仅当$a = 2$时,存在$k \in \mathbb{N}^*$,使得$\lambda_k = \lambda_{k+1}$.

其中所有正确结论的序号是 ___ .

首先记$S_n=\sum_{i=1}^na_i$对${S_n},{b_n},{\lambda_n}$的前三项进行计算:

要满足$\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3$,只要:

$\frac{3a+6}{4}\gt a+1$即可,这等价于:

$a\lt 2$,于是①正确.

要让$\lambda_{n+1}\gt \lambda_n$,等价于:

$S_{n+1}\gt 2S_n$,即:

$a_{n+1}\gt S_n$

更强地,只要:

$a_n\lt 0(n=1,2,3,...,2024)$,就可以满足$S_n\lt S_{n-1}\lt ...\lt S_1=a\lt a_{n+1}$

更进一步,我们研究②的充要条件:

$a_{n+1}=a+2n\gt S_n=na+\frac{n(n-1)}{2}\times 2=na+n(n-1)(n=1,2,..,2024)$

$n=1$,显然有:$a_2=a+2\gt a_1=a$

※:$a\lt \frac{-n^2+3n}{n-1}=-n+2+\frac{2}{n-1}(n=2,3,..,2024)$

$u_n=-n+2+\frac{2}{n-1}=1-(n-1-\frac{2}{n-1})(n=2,3,...,2024)$是递减数列.

所以②等价于:$a\lt u_{2024}=-2022+\frac{2}{2023}$,②正确.

再看③:

由②的分析,$a\gt 0=u_3$,即$n\gt 3$时满足$\lambda_{n+1}\lt \lambda_n$,③正确.

最后看④:

只要取$a=u_n$,即可满足$\lambda_n=\lambda_{n+1}$,④错误.

综上,选①②③.